Hasil Deret Bilangan Bulat

Berapa jumlah semua angka bilangan bulat: 1 + 2 + 3 + … 1000?

Apabila yang dijumlah barisan angka 1 sampai 10, maka untuk memudahkan dapat dirinci dengan penjumlahan angka terendah ditambah angka tertinggi lalu dibuat mendatar atau menurun. Namun jika angka mencapai ratusan cara ini tidak efektif dan efisien lagi.

Jumlah bilangan bulat barisan angka 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =…

1+10 =11

2+9 =11

3+8 =11

4+7 =11

5+6 =11

Hasilnya 11 x 5 = 55

Deret merupakan penjumlahan dari semua anggota barisan secara berurutan. Jika dibuat rumus deret atau penjumlahan barisan bilangan bulat 1-10, notasi penjumlahan sigma (Σ) ke-n, a = suku pertama, n = suku ke-n, maka rumusnya:

Σn(a,n) => n:2 (a+n)

Dari rumus di atas jumlah suku ke-10 adalah membagi suku ke-10 dengan 2, lalu mengalikan dengan jumlah suku pertama dan suku ke-10. Dengan rumus di atas deret 1-10 hasilnya adalah:

a = 1, n = 10

Σ10(1,10) => 10:2 (1+10) = 55

Rumus diuji dengan n =9,  dan n =10, maka Σ9(1,9) => 9:2 (1+9) = 45 benar.

n =100, maka Σ100(1,100) => 100:2 (1+100) = 50 x 101 = 5050 benar

Jadi jumlah semua angka bilangan bulat: 1 + 2 + 3 + … 1000=

n =1000, maka Σ1000(1,1000) => 1000:2 (1+1000) = 500 x 1001 = 500500

Sangat mudah bukan?…

Nah jika menjumlah bilangan dengan angka satuan saja, bagaimana caranya. Contoh, jumlah semua angka bilangan bulat dari 11 sampai 20 adalah 1+1+1+2+1+3+1+4+1+5 = 20. Berapa jumlah semua angka bilangan bulat dari 1 sampai dengan 120?

Apabila dibuat tabel rinciannya sebagai berikut:

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
2 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111
3 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112
4 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113
5 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114
6 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115
7 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116
8 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117
9 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118
19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119
Σ
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 540
10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 3 483
Σ 1023

Bilangan satuan 1-9 ada 12 deret sehingga 45 x 12 = 540. Bilangan ratusan dan puluhan jumlahnya 480, sedangkan bilangan terakhir (120) jumlah = 3. Sehingga jumlah seluruhnya = 1023.

Apabila diamati pola jumlah bilangan ratusan dan puluhan pada barisan bilangan 1-100 adalah 450. Setelah barisan 100 pola menjadi 10, 20, 30, …. Apabila tabel dipanjangkan hingga 330 maka akan terbentuk pola (0+450) + (100+450) + (200+450). Setelah angka 100 ditambah 100 dan setelah 200 ditambah 200, begitu seterusnya.

Berapa jumlah semua angka bilangan bulat dari 1 sampai dengan 220 dan berapa jumlah 1 sampai dengan 330?

Jumlah semua angka bilangan bulat 1 sampai dengan 220 = [45 x 22] + [(0+450) + (100+450) +50+4] = 990+1000+54=2044.

Sedangkan jumlah semua angka bilangan bulat 1 sampai dengan 330 = [45 x 33] + [(0+450) + (100+450) +(200+450) +120+6] = 1485+1650+126= 3261.

Apabila diformulasikan, dengan notasi abc = 100a + 10b c a= ratusan, b = puluhan, c = satuan, maka:

  1. hitung angka satuan = 45 x (10a + b) ditambah
  2. angka ratusan [ 450 + 100:2  (a-1)] x a ditambah
  3. angka puluhan [ 10a + 10:2  (b-1)] x b ditambah
  4. jumlah angka terakhir.

Artikel lain yang terkait dengan artikel sedang dibuka: